TAM SAYILAR, TAM SAYILAR. TAM SAYILAR, MUTLAK DEĞER, TOPLAMA, ÇI

Tam sayılar, doğal sayılar (0, 1, 2, ...) ve bunların negatif değerlerinden oluşur (-1, -2, -3, ...; -0 sayısı 0 sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematikte tam sayıların tümünü kapsayan küme genellikle Z (ya da şeklinde gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünün baş harfinden gelmektedir. tamsayılarda toplama: tam sayılarda toplama yapılırken sayılar pozitifse toplanır sonuca yazılır.ikiside negatifse toplama yapılır fakat sonuç negatif olur.zıtsa birbirinden çıkarılır.büyüğün işareti verilir.

Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken aynı işaretlilerin çarpımı pozitif farklı işaretlilerin çarpımı ise negatifdir.Bölme işlemindede aynı çarpma kuralı uygulanır ve sayı aynı doğal sayılarda olduğu gibi bölünür.aynı işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde sonuç pozitif,zıt işaretli iki tam sayı birbirine bölündüğünde ise sonuç negatiftir.tam sayıların sıfıra bölümü tanımsızdır.sıfırın tam sayılara bölümünde elde edilen sonuç ise sıfırdır.

pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür.Negatif tam sayılar ise "0"dan uzaklaştıkça küçülür.

En büyük negatif tam sayı -1'dir.En küçük pozitif tam sayı ise +1'dir.
Mutlak değer sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder.Başlangıç noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değerce eşittir. Mutlak değer içindeki her sayı mutlak değer dışına pozitif olarak çıkar. çıkarma işleminde ise eksilene dokunulmaz diğer elemanlar (-)ise(+) (+)ise(-) yapılır böylece çıkarma işemini yapabiliriz (-)+(+) örnek sorular: 1:ardışık 4 çift sayının toplamı 204'tür.Buna göre, bu sayının en küçüğü kaçtır? A:46 B:48 C:50 D:52

Tanım

Tamsayılar doğal sayıların bir genişlemesidir. Her doğal sayının "-1" denen yeni bir öğeyle çarpılarak kümeye katılması olarak düşünülebilir. Tabi daha ayrıntılı olarak, doğal sayılar kümesinin kartezyen çarpımı üzerine tanımlanacak ve bir önceki cümlenin işlevini görecek bir denklik bağıntısı bize tamsayıları inşâ edecek.

kümesinden seçtiğimiz (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~" (tilda) bağıntısı,



şeklinde tanımlansın (a+d=b+c dememizin nedeni sezgisel olarak a-b=c-d durumunu oluşturmaktır). Bu bağıntının denklik bağıntısı olduğu kolaylıkla görülebilir. Bu durumda bu bağıntının denklik sınıfları bizim tamsayılar diyeceğimiz öğeler olarak düşünülecektir. Her bir denklik sınıfı temsilcisini,



olarak tanımlamış oluruz. Aslında [a,b] diye temsil ettiğimiz öğe



şeklindedir. Aşağıda toplama ve çarpmayı işlerken bu, daha iyi anlaşılabilecektir.

Bu noktada; bizim normalde, a ve b doğal sayı olmak üzere a-b diye bildiğimiz tamsayı aslında [a,b] kümesi olduğu görülebilir.



Yâni bu bağıntının bize "eksi" (negatif) kavramını ifade ettiği söylenebilir. O halde, tamsayılar kümesi aşağıdaki bölüm kümesidir:



Öyle ki kümesi bir halka oluşturur.


Toplama


Toplamanın tıpkı doğal sayılarda olduğu gibi kalması, daha doğrusu bu toplamanın doğal sayılardaki toplamanın bir genişlemesi olması gerekir. Bu nedenle tamsayılar aşağıdaki belitleri sağlamalıdır: Herhangi a,b,c tamsayıları için

  1. a+0=a (birim öğe)
  2. a+b=b+a (değişme)
  3. a+(b+c)=(a+b)+c (birleşme)
  4. a+(-a)=0 (tersinir öğe)
Buradaki son madde doğal sayılarda olmayan bir özelliktir ve bu özellik tamsayılar kümesini öbek (grup) yapar.

Eğer daha öz (pür) düşünecek olursak toplama işlemi,



şeklinde tanımlanarak yukarıdaki denklik sınıflarının özellikleri sağladığı kolaylıkla görülebilir:
  • Kümenin birim öğesi, yani sıfır öğesi [c,c] olur:
  • İşlem değişmeli olur:
  • Her öğenin tersi vardır:



  • İşlem birleşmelidir:


Ayrıca,





gibi denklikler de görülebilir.

Çarpma

Tamsayılarda çarpma işlemi doğal sayılardaki çarpmayla aynı özellikleri gösterir. Çarpma işlemi, "" imiyle gösterilir, ancak yazmak yerine doğrudan ab yazmak gelenektendir. Bu maddede de öyle yapacağız.

Herhangi a, b, c tamsayıları için,
  1. a1=a (birim öğe)
  2. ab=ba (değişme)
  3. a(bc)=(ab)c (birleşme)
özellikleri sağlanır. Tamsayılarda çarpmaya göre tersinir öğe yoktur.

Ayrıca toplama ile çarpmanın birbirleriyle olan ilişkisini gösteren dağılma özelliği de vardır:
  • a(b+c)=ab+ac (çarpmanın toplama üzerine dağılma ya da kısaca soldan dağılma özelliği)
  • (a+b)c=ac+bc (toplamanın çarpma üzerine dağılma ya da kısaca sağdan dağılma özelliği)
Toplamayla birlikte bu iki işlem tamsayıları değişmeli halka yapar.

Çarpmayı, tıpkı yukarıda toplama için yaptığımız gibi, cebirsel olarak yapılandırabiliriz. Eğer çarpmayı,



olarak tanımlarsak yukarıdaki özellikler sağlanmış olur. Bu tanım tek değerli bir göndermedir. Bu sonuç yukarıda tanımlanan bağıntıdan kolaylıkla kanıtlanabilir.

Yorum Yaz